Question

5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接BF、DE交于点O，连接EF，给出如下结论：
①S_△BEO=S_△EFO；
②S_{四边形AEOF}=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD；
③当EF=2时，BF²+DE²=18；
④当EF=2，S_矩形ABCD=10时，矩形ABCD周长为12；
其中正确的是①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

分析 ①根据直角三角形的面积公式易得S_△BEF=S_△DEF，易推知①正确；
②连接BD，由BF、DE分别是△ABD的两条中线易得②正确；
③当EF=2时，设AE=x，AF=y，则由勾股定理得到：x²+y²=4，然后由x、y分别表示出BF、DE，不难得到BF²+DE²=20，即③不成立；
④EF=2时，设AE=x，AF=y，则x²+y²=4，结合矩形的面积得到：4xy=10，易求矩形ABCD的周长为12．

解答 解：连接BD，由BF、DE分别是△ABD的两条中线易得S_△BEF=S_△DEF即S_△BEO=S_△DFO、
S_{四边形AEOF}=$\frac{1}{6}$S_矩形ABCD成立，
故①②正确；
当EF=2时，设AE=x，AF=y，则x²+y²=4，
又S_矩形ABCD=10，即4xy=10，
∴xy=2.5，x+y=3，
∴矩形ABCD周长为12，
故④正确；
当EF=2时，设AE=x，AF=y，则x²+y²=4，
BF²=（2x）²+y²，DE²=x²+（2y）²，
∴BF²+DE²=5x²+5y²=5（x²+y²），即BF²+DE²=20，即③不成立，
故③错误．
综上所述，①②④成立．
故答案是：①②④．

点评 本题考查了四边形综合题，需要掌握矩形的性质、勾股定理、矩形面积的求法、矩形周长的求法以及三角形面积的计算，属于难题．