Question

14．如图，在△ABC中，D是AB边上的中点，E是AC上一点，DF∥BE，EF∥AB，且DF、EF相交于F．
（1）求证：AE、DF互相平分；
（2）当EA=EB时，试判断四边形ADEF的形状．

Answer 1

分析 （1）设DF与AE的交点为O，根据平行四边形的判定得出四边形BDFE是平行四边形，再根据平行四边形的性质和中点的性质得出AD=BD=EF，在△AOD和△EOF中，根据AAS得出△AOD≌△EOF，从而得出OA=OE，OD=OF，即可证出AE、DF互相平分；
（2）根据矩形的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）设DF与AE的交点为O，
∵DF∥BE，BD∥EF，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴EF=BD，
∵D是AB中点，
∴AD=BD=EF，
∵AD∥EF，
∴∠DAO=∠OEF，
在△AOD和△EOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠FOE}\\{∠AO=∠DEF}\\{AD=EF}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOF（AAS），
∴OA=OE，OD=OF，
∴AE、DF互相平分；

（2）四边形ADEF是矩形，
理由：∵EA=EB，
∴AE=DF，
∴四边形ADEF是矩形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，用到的知识点是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．