Question

17．在平面直角坐标系中，A点坐标是（0，6），M点坐标是（8，0）．P是射线AM上一点，PB⊥x轴，垂足为B．设AP=A．
（1）AM=10；
（2）如图，以AP为直径作圆，圆心为点C．若⊙C与x轴相切，求A的值；
（3）D是x轴上一点，连接AD、PD．若△OAD∽△BDP，试探究满足条件的点D的个数（直接写出点D的个数及相应A的取值范围，不必说明理由）．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理计算AM的长；
（2）作CQ⊥x轴于Q，如图，利用切线的性质得CQ=$\frac{1}{2}$AP=a，再证明△CQM∽△AOM，然后利用相似比可计算出a的值；
（3）利用△OAD∽△BDP得到∠OAD=∠BDP，则可证明∠ADP=90°，于是根据圆周角定理的推论可判断点D在以AP为直径的圆上，利用（2）问的结论讨论：当0＜a＜$\frac{15}{2}$时，⊙C与x轴相离，没有公共点；当a=$\frac{15}{2}$时，⊙C与x轴相切，只有一个公共点，；当a＞$\frac{15}{2}$且a≠10时，⊙C与x轴相交，有2个公共点．

解答 解：：（1）∵A点坐标是（0，6），M点坐标是（8，0），
∴OA=6，OM=8，
∴AM=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
故答案为10；

（2）作CQ⊥x轴于Q，如图，
∵⊙C与x轴相切，
∴CQ=$\frac{1}{2}$AP=a，
∵CQ∥AO，
∴△CQM∽△AOM，
∴$\frac{CQ}{AO}$=$\frac{MC}{MA}$，即$\frac{\frac{1}{2}a}{6}$=$\frac{10-\frac{1}{2}a}{10}$，解得a=$\frac{15}{2}$；

（3）∵△OAD∽△BDP，
∴∠OAD=∠BDP，
而∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADO+∠BDP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴点D在以AP为直径的圆上，
当0＜a＜$\frac{15}{2}$时，⊙C与x轴相离，没有公共点，所以满足条件的D点有0个；
当a=$\frac{15}{2}$时，⊙C与x轴相切，只有一个公共点，所以没满足条件的D点有1个；
当a＞$\frac{15}{2}$且a≠10时，⊙C与x轴相交，有2个公共点，所以满足条件的D点有2个．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和直线与圆的位置关系；会利用相似三角形的知识和勾股定理计算线段的长．理解坐标与图形的性质．