Question

8．在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：
①△AED≌△DFB；②S_{四边形BCDG}=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$CG²；③CG=DG+BG．④∠DGB=120°
其中正确的结论有（　　）

• A． 1
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①正确．根据SAS即可证明．
②正确．由△CDG≌△CBM可得S_△CDG=S_△CBM，∠DCG=∠BCM，CG=CM，推出∠GCM=∠DCB=60°推出△CGM为等边三角形，即可推出S四边形BCDG=S_△CGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²．
③正确．延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．只要证明△CDG≌△CBM即可解决问题．
④正确．由△AED≌△DFB（SAS），推出∠ADE=∠DBF，由∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，推出∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°即可解决问题．

解答 证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS），故①正确，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°，故④正确，
延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．故③正确．
∵△CDG≌△CBM
∴S_△CDG=S_△CBM，∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°
∴△CGM为等边三角形，
∴S四边形BCDG=S_△CGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²．故②正确．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，以及菱形的性质．本题充分利用了等边三角形的三条边相等和三个内角都是60°的性质．