Question

11．请直接写出$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（8-2m）^{2}+4}$的最小值为$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得出AC，CE的长进而得出用含x的代数式表示AC+CE的长；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理求出即可．

解答 解：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=5，设CD=2m-3．
∵CD=2m-3，BD=5，
∴CB=8-2m，
AC+CE=$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（8-2m）^{2}+4}$，
A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；
当A、C、E在同一直线上时，
延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB=2，DE=1，
∴AF=3，
∵∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵∠BDE=∠BFE=90°，
∴四边形BFED是矩形，
∴BD=EF=5，
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴$\sqrt{（2m-3）^{2}+1}$+$\sqrt{（8-2m）^{2}+4}$的最小值为$\sqrt{34}$
故答案为：$\sqrt{34}$．

点评 本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．