Question

一直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，直角顶点C刚好落在双曲线y=

8

x

（x＞0）的一支上，两直角边分别与y轴、x轴交于A、B两点．若CA=CB，则四边形CAOB的面积是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：作CE垂直x轴于点E，AF⊥CE于点F，CM垂直于y轴于点M，AC交x轴于点N，求出△AFC≌△CEB得到AF=CE=2

2

，再运用四边形CAOB的面积=正方形MOEC的面积．

解答：解：作CE垂直x轴于点E，AF⊥CE于点F，CM垂直于y轴于点M，AC交x轴于点N，
∵∠NOA=∠NCB=90°，∠ANO=∠BNC，
∴△ANO∽△CNB，
∴∠NAO=∠NBC，
又∵AO∥CE，
∴∠NAO=∠ACF，
∴∠ACF=∠NBC也就是∠ACF=∠EBC
∵∠AFC=∠CEB=90°，AC=AB，
在△AFC和△CEB中，

∠AFC=∠CEB ∠ACF=∠EBC AC=BC

，
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴AF=CE，
∴双曲线y=

8

x

在C点的横坐标等于纵坐标，
∴x=

8

x

，
解得x=2

2

，
∴AF=CE=OE=2

2

，
又∵△MAC的面积=△AFC的面积=△CEB的面积，
∴四边形CAOB的面积=正方形MOEC的面积=2

2

×2

2

=8，
故答案为：8．

点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质与反比例函数的知识，解决本题的关键是把四边形CAOB的面积转化为正方形MOEC的面积．