Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，由三角形ABE与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，且∠EAB=∠DAC=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EAC与三角形BAD全等，利用余弦定理求出EC的长就是BD的长．

解答：解：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，

∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，

AE=AB ∠EAC=∠BAD AD=AC

，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=EC，
∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，
∴∠EBC=120°，
在△EBC中，BC=5，EB=3，
用余弦定理得：EC²=3²+5²-2×3×5×COS120°=49，
∴BD=EC=7．
故答案为：7．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及余弦定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．