Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（

18

5

，-

24

5

），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线解析式及顶点坐标；
（3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论；
（4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）用待定系数法即可求得；
（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；
（3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE=∠MAE，同理证得∠BAF=∠MAF，进而求得∠EAF=90°，然后根据射影定理即可求得．
（4）分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，根据直线BC的斜率可知HB：BQ=4：5；即可求得，②当PB=QB时，则10-t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，根据勾股定理即可求得．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵直线BC经过B、C，
∴

0=10k+b - 24 5 = 18 5 k+b

，
解得：

k= 3 4 b= -15 2

，
∴直线BC的解析式为；y=

3

4

x-

15

2

．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（

18

5

，-

24

5

），
∴

c=0 0=102a+10b+c - 24 5 =( 18 5 )2a+ 18 5 b+c

，
解得

a= 5 24 b=- 25 12 c=0

，
∴抛物线的解析式为：y=

5

24

x²-

25

12

x；
∴x=-

b

2a

=-

- 25 12

5 12

=5，y=

5

24

x²-

25

12

x=

5

24

×5²-

25

12

×5=-

125

24

，
∴顶点坐标为（5，-

125

24

）；

（3）m•n=25；
如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，
在Rt△AOE与Rt△AME中

OA=MA AE=AE

∴Rt△AOE≌Rt△AME（HL），
∴∠OAE=∠MAE，
同理可证∠BAF=∠MAF，
∴∠EAF=90°，
在Rt△EAF中，根据射影定理得AM²=EM•FM，
∵AM=

1

2

OB=5，ME=m，MF=n，
∴m•n=25；

（4）如图3．有三种情况；
①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，
∵直线BC的斜率为

3

4

，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5；
∵HB=（10-t）×

1

2

，BQ=t，
∴

(10-t)× 1 2

t

=

4

5

，
解得；t=

50

13

，
②当PB=QB时，则10-t=t，
解得t=5，
③当PQ=PB时，作QH⊥OB，则PQ=PB=10-t，BQ=t，HP=

4

5

t-（10-t），QH=

3

5

t；
∵PQ²=PH²+QH²，
∴（10-t）²=【

4

5

t-（10-t）]²+（

3

5

t）²；
解得t=

80

13

．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．