Question

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，E为AC上一点，且△EBC是等边△，OF⊥AC于F，FO的延长线交BE于G，AE=3，EG=2，求AB的长．

Answer 1

分析 作BM⊥AC于点M，根据等边三角形的性质、直角三角形的性质求出EF=1，根据垂径定理求出AC的长，根据锐角三角函数求出MC、BM的长，根据勾股定理计算即可．

解答 解：作BM⊥AC于点M，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△EBC为等边三角形，
∴∠GEF=60°，
∴∠EGF=30°，
∵EG=2，
∴EF=1，
又∵AE=3，
∴CF=AF=4，
∴AC=8，EC=5，
∴BC=5，
∵∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°，
∴CM=$\frac{5}{2}$，BM=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
则AM=8-$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$，
∴AB=$\sqrt{B{M}^{2}+A{M}^{2}}$=7．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的有关知识，掌握垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质和锐角三角函数的概念是解题的关键．