Question

13．如图，BC边上的高为1的平行四边形ABCD中，AB=a，∠ACD=80°，M是BC的中点，E为线段AB上一个动点，F为AC上一点，∠EMF=2∠D=100°．
（1）求证：ME=MF；
（2）当EM⊥BC时，求AF的长；
（3）当△BME为等腰三角形时，直接写出AF的长（不要过程，用a表示）

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出∠BAC=80°，根据∠EMF=2∠D=100°．得出∠D=50°，进而求得∠B=∠ACB=50°，得出AB=AC，证得AM平分∠BAC，AM⊥BC，进一步证得∠AEM=∠MFC，然后根据AAS证得△MEG≌△MFH，即可证得ME=MF；
（2）先证得E和A重合，进而证得∠MAC=∠AFM=40°，证得AM=MF，从而证得AH=$\frac{1}{2}$AF，根据勾股定理AM²-AH²=MC²-HC²，设AH=x，则HC=a-x，得出1-x²=a²-1-（a-x）²，解方程即可求得．
（3）分三种情况分别讨论确定即可．

解答 （1）证明：∵∠ACD=80°，AB∥CD，
∴∠BAC=80°，
∵∠EMF=2∠D=100°．
∴∠D=50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=50°，
∴∠ACB=50°，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
连接AM，∵BM=CM，
∴AM平分∠BAC，AM⊥BC，
∵∠BAC=80°，∠EMF=100°．
∴∠AEM+∠AFM=180°，
∴∠AEM=∠MFC，
过M作MG⊥AB于G，MH⊥AC于H，
∵AM平分∠BAC，
∴MG=MH，
在△MEG和△MFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠MFC}\\{∠MGE=∠MHF=90°}\\{GM=HM}\end{array}\right.$
∴△MEG≌△MFH（AAS），
∴ME=MF；
（2）解：∵AB=AC，BM=CM，
∴AM平分∠BAC，AM⊥BC，
∵EM⊥BC，
∴E和A重合，
∵∠BAC=80°，
∴∠MAC=40°，
∵∠AMF=100°，
∴∠AFM=40°，
∴AM=MF，
∵MH⊥AF，
∴AH=$\frac{1}{2}$AF，
∵AC=AB=a，AM=1，
∴MC²=a²-1，
设AH=x，则HC=a-x，
∵AM²-AH²=MC²-HC²，
∴1-x²=a²-1-（a-x）²，
解得x=$\frac{1}{a}$，
∴AF=2x=$\frac{2}{a}$；
（3）解：∵AG=AH，GE=HF，
∴AF=AG+GE，
①当BE=EM时，∵AM⊥BC，
∴EM=BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
∵△BMG∽△BAM，
∴$\frac{BG}{BM}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{BG}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，
∴BG=a-$\frac{1}{a}$，
∴GE=$\frac{a}{2}$-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{2}$，
∴AG=AE+GE=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{1}{a}$，
∴AF=AG+GE=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{2}$；
②当BM=EM时，则BG=EG，
∵△BMG∽△BAM，
∴$\frac{BG}{BM}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{BG}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，
∴BG=a-$\frac{1}{a}$，
∴AG=a-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$，
∴AF=AG+GE=$\frac{1}{a}$+a-$\frac{1}{a}$=a，
③当BM=BE时，BE=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵△BMG∽△BAM，
∴$\frac{BG}{BM}$=$\frac{BM}{AB}$，
∴$\frac{BG}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，
∴BG=a-$\frac{1}{a}$，
∴AG=a-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$，GE=$\sqrt{{a}^{2}-1}$-（a-$\frac{1}{a}$）=$\sqrt{{a}^{2}-1}$-a+$\frac{1}{a}$
∴AF=AG+GE=$\frac{1}{a}$+$\sqrt{{a}^{2}-1}$-a+$\frac{1}{a}$=$\frac{2}{a}$-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$．
综上，当△BME为等腰三角形时，AF的长为$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{2}$或a或$\frac{2}{a}$-a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．