Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．
求证：GE与FD互相垂直平分．

Answer 1

分析 先求出四边形是平行四边形，证三角形全等，得出DG=DE，根据菱形的判定得出即可．

解答 证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，
∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DGB和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DGB=∠DEC}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△DGB≌△DEC（AAS），
∴DG=DE，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴四边形DEFG是菱形，
∴GE与FD互相垂直平分．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．