Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）利用尺规，以AB为直径作⊙O，交BC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求证：AC²=CD•CB．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线得到AB的中点O，然后以O为圆心，OA为半径作圆交BC于D；
（2）先利用圆周角定理得到∠ADB=∠CAB，则可判断△CAD∽△CBA，然后利用相似比得到CA：CB=CD：CA，再根据比例的性质即可得到结论．

解答 （1）解：如图，

（2）证明：连接AD，如图，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴CA：CB=CD：CA，
∴AC²=CD•CB．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用相似比是解决（2）小题的关键．