Question

2．如图，已知直线y=x+a与y轴相交于点A，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于点B（-a+1，a+4）．
（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出x＞0时不等式x+a＞$\frac{k}{x}$的解集；
（3）将直线y=x+a向上平移后与反比例函数的图象交于点C，且△ABC的面积为28，求平移后的直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）观察图象，直线y=x+a在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的上方，由此可以写出不等式的解集．
（3）设平移后的直线与y轴交于点N，作AM⊥NC，垂足为M，求出AM，再证明△AMN是等腰直角三角形，求出线段AN即可解决问题．

解答 解：（1）∵点B（-a+1，a+4）在直线y=x+a上，
∴a+4=-a+1+a，
∴a=-3，点B坐标（4，1），
∵点B在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=4，
∴a=-3，反比例函数为y=$\frac{4}{x}$．
（2）刚才图象可知x＞0时不等式x+a＞$\frac{k}{x}$的解集是x＞4．
（3）设平移后的直线与y轴交于点N，作AM⊥NC，垂足为M，
∵点A坐标（0，-3），点B坐标（4，1），
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵S_△ABC=28，
∴$\frac{1}{2}$•AB•AM=28，
∴AM=7$\sqrt{2}$，
∵直线AB与x轴交点D坐标为（3，0），
∴AO=OD=3，
∴∠OAD=45°，
∵AM⊥CN，CN∥AB，
∴AB⊥AM，
∴∠MAB=90°，
∴∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠MNA=45°，
∴MN=AM=7$\sqrt{2}$，
∴AN=14，
∴直线AB：y=x-3向上平移14个单位得到直线CN，
∴直线CN为y=x+11．
∴平移后的直线的解析式y=x+11．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点、函数图象平移问题，解题的关键是记住平移规律，“上加下减，左加右减”，学会观察图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．