Question

17．如图，已知在⊙O中，AB=2$\sqrt{3}$，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠ABD=60°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影部分围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，由AC⊥BD得弧BC=弧CD，且∠AFB=90°，则∠BAF=30°，利用圆周角定理得∠BOC=∠COD=60°，再由AC为直径得到∠ABC=90°，于是根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=2，则OB=BC=2，然后根据扇形面积公式求解；
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和扇形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2πr•2=$\frac{4}{3}$π，然后解关于r的方程即可．

解答 解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AFB=90°，弧BC=弧CD，
在Rt△ABF中，∵∠ABD=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2，
∴OB=BC=2，
∴图中阴影部分的面积=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π；
（2）设这个圆锥的底面圆的半径为r，
∴$\frac{1}{2}$•2πr•2=$\frac{4}{3}$π，
∴r=$\frac{2}{3}$，
即这个圆锥的底面圆的半径为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形面积的计算．