Question

8．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，过点D作DM⊥DN，使DM交AC于M，DN交BC于N，求证：MN²=BN²+AM²．

Answer 1

分析 作辅助线过点A作AP∥AC，交ND的延长线于点P，连接MP，证明△PAD≌△NBD，进而证明PD=ND，由DM⊥DN，证明PM=MN，运用勾股定理即可解决问题．

解答 证明：过点A作AP∥AC，交ND的延长线于点P，连接MP，
∴∠PAD=∠B，
在△PAD和△NBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠B}\\{AD=BD}\\{∠ADP=∠BDN}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△NBD，
∴PD=ND，PA=BN，
∵DM⊥DN，
∴PM=MN，
由勾股定理得：PM²=PA²+AM²，
∴MN²=AM²+BN²．

点评 本题题以直角三角形为载体，考查勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形、全等三角形．