Question

17．如图，AB是⊙O的直径，点C、G是⊙O上两点，且$\widehat{AC}$=$\widehat{CG}$，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OF=$\frac{2}{3}$FD时，
①求∠E的度数；
②如果DG=6，请直接写出图中$\widehat{AC}$、线段AE和CE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）①由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{DE}$=$\frac{2}{3}$，根据直角三角形的性质即可得到结论；
②由①的结论得到△OAC是等边三角形，得到∠OAC=60°，根据圆内接四边形的性质得到∠DGC=60°，求得CG=2DG=12，得到AC=CG=12，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，连接OC，AC，CG，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CG}$，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：①∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{BD}=\frac{OE}{DE}$=$\frac{2}{3}$，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；

②∵∠E=30°，
∴∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠DGC=60°，
∵∠CDG=90°，DG=6，
∴CG=2DG=12，
∴AC=CG=12，
∴OC=12，CE=12$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△OCE-S_扇形AOC=$\frac{1}{2}$×12×12$\sqrt{3}$-$\frac{60π×1{2}^{2}}{360}$=72$\sqrt{3}$-24π．

点评 本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．