Question

【题目】在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.

【解析】

(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；

(3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．

解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，

∵，∴点的坐标为，

代入抛物线的解析式得，，∴，

∴抛物线的解析式为，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面积为5，∴，∴，

代入抛物线解析式得，，解得，，∴，

设直线的解析式为，

∴，解得：，

∴直线的解析式为．

(2)过点作轴交于，如图，设，则，

∴，

∴，，

∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，

∵，，

∴，，∴，

∵，

∴，∴，

∵、关于轴对称，∴，

∴，此时最小，

∵，，

∴，

∴．

∴的最小值是3．