Question

17．如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和函数y=$\frac{16}{x}$的图象在第一象限交于点D（4，m），与平行于y轴的直线x=t（0＜t＜4）分别交于点A和点B，平面上有点P（0，6）．若以点O，P，A，B为顶点的四边形为平行四边形，则这个平行四边形被直线PD所分割成的两部分图形的面积之比为（　　）

• A． 1：1
• B． 1：2
• C． 1：3
• D． 1：4

Answer 1

分析 如图，先确定D（4，4），再利用直线x=t平行y轴，则A（t，$\frac{16}{t}$），B（t，t），则根据平行四边形的性质得$\frac{16}{t}$-t=6，解得t₁=2，t₂=-8（舍去），所以A（2，8），B（2，2），接着判断BQ为△DOP的中位线，则BQ=$\frac{1}{2}$OP=3，AQ=3，然后根据三角形面积公式和平行四边形的面积公式计算$\frac{{S}_{△PAQ}}{{S}_{四边形OBQP}}$的值即可．

解答 解：如图，把D（4，m）代入y=x得m=4，则D（4，4），
∵直线x=t（0＜t＜4）分别交函数y=$\frac{16}{x}$的图象和直线y=x于点A和点B，
∴A（t，$\frac{16}{t}$），B（t，t），
∵四边形OBAP为平行四边形，
∴AB=OP=6，
∴$\frac{16}{t}$-t=6，
整理得t²+6t-16=0，解得t₁=2，t₂=-8（舍去），
∴A（2，8），B（2，2），
∴点B为OD的中点，
∴BQ为△DOP的中位线，
∴BQ=$\frac{1}{2}$OP=3，
∴AQ=6-3=3，
∴$\frac{{S}_{△PAQ}}{{S}_{四边形OBQP}}$=$\frac{\frac{1}{2}×3×2}{2×6-\frac{1}{2}×3×2}$=$\frac{1}{3}$，
即这个平行四边形被直线PD所分割成的两部分图形的面积之比为1：3．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了平行四边形的性质．