Question

已知直线y=-x+3分别交x轴，y轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以同样速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图），设运动时间为t秒．
（1）直接写出点A，B的坐标；
（2）求tan∠QCP的值（用含t的代数式表示）；
（3）若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）根据坐标轴上点的坐标特征，就可求出点A、点B的坐标；
（2）可分三种情况（①点P在点Q的左边，②点P与点Q重合，③点P在点Q的右边）讨论，然后只需用t的代数式表示出CP、PQ，就可解决问题；
（3）两个相似三角形对应关系不确定，故需分两种情况（①△ACQ∽△ABO，②△ACQ∽△AOB）讨论，然后只需运用相似三角形的性质就可求出t的值．

解答：解：（1）∵直线y=-x+3分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3）．

（2）∵A（3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，∴∠OAB=45°．
∵CP⊥OA，即∠CPA=90，
∴∠PCA=∠PAC=45°，
∴PC=PA．
由题可得：OP=AQ=1×t=t，
∴PC=PA=OA-OP=3-x．
①当点P在点Q的左边时，0＜t＜

3

2

，
此时PQ=OA-OP-AQ=3-2t．
在Rt△CPQ中，tan∠QCP=

PQ

CP

=

3-2t

3-x

；
②当点P与点Q重合时，t=

3

2

，
tan∠QCP=tan0°=0；
③当点P在点Q的右边时，

3

2

＜t＜3，
此时PQ=AQ-AP=AQ-（OA-OP）=t-（3-t）=2t-3．
在Rt△CPQ中，tan∠QCP=

PQ

CP

=

2t-3

3-x

．

（3）在Rt△AOB中，
AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

．
在Rt△CPA中，
AC=

AP2+CP2

=

(3-t)2+(3-t)2

=

2

（3-t）．
①若△ACQ∽△ABO，
则

AC

AB

=

AQ

AO

，
∴

2 (3-t)

3 2

=

t

3

，
解得：t=

3

2

；
②若△ACQ∽△AOB，
则

AC

AO

=

AQ

AB

，
∴

2 (3-t)

3

=

t

3 2

，
解得：t=2．
综上所述：t的值为

3

2

或2．

点评：本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征、等腰三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．