Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． 
（1）求证：AC平分∠DAB； 
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，可证得OC∥AD，结合条件可证得∠DAC=∠CAB，可证得结论；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，可证得结论；
（3）连接AE，可知BE=AE，根据条件可得到BE与AB的关系，以及BC、AC和AB的关系，再结合勾股定理的逆定理可得到结论．

解答：证明：（1）如图1，连接OC，

∵DP是⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）∵PD是⊙O的切线，
∴∠BCP=∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAF+∠ACF=∠BCF+∠PCB，
即∠CFP=∠PCF，
∴PC=PF，即△PCB为等腰三角形；
（2）如图2，连接AE，

∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴AE=BE，
又∵AB为直径，
∴BE=

2

2

AB，
∵∠CEB=30°，
∴∠CAB=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=

1

2

AB，AC=

3

2

AB，
∴BC²+BE²=

3

4

AB²=AC²，
∴以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．

点评：本题主要考查切线的性质和等腰三角形的判定及勾股定理的逆定理，在（1）中根据平行得到角之间的关系是解题的关键，在（2）中注意弦切角定理的应用，在（3）中用AB分别表示出BE、BC、AC是解题的关键．