Question

9．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：MF⊥AC；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ADE是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）结论：AD⊥MC．首先证明△DFC≌△AFM（AAS），推出CF=MF，再证明DE∥CM，由AD⊥DE，即可推出AD⊥CM．

解答 （1）证明：∵AD⊥DE，AD=DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∵AF=EF，
∴DF⊥AE，
即MF⊥AC．

（2）解：结论：AD⊥MC．
理由：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠AMF}\\{∠CFD=∠MFA}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△AFM（AAS），
∴CF=MF，∵∠MFC=90°
∴∠FCM=∠AED=45°，
∴DE∥CM，∵⊥DE，
∴AD⊥CM．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．