Question

17．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．
（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；
（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；
（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；
（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；
（3）过D作DF∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠FDE，∠FBD=∠FDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=$\frac{1}{2}$（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．

解答 解：（1）如图1，∵直线m∥n，
∴∠AEC=∠AFM，
∵∠AEC=∠BAC，
∴∠AFM=∠BAC，
又∵∠BFA+∠AFM=180°，
∴∠BFA+∠BAC=180°；

（2）与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．
证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，
∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，
∵m∥n，
∴∠ABF=∠ANC，
∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；

（3）如图2，过D作DF∥BF，过M作MG∥BF，
∵BF∥CE，
∴DF∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，
∴∠CED=∠FDE，∠FBD=∠FDB，
∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°-∠ADC=180°-α，
∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，
∴∠CEM+∠FBM=$\frac{1}{2}$（∠CED+∠FBD）=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵MG∥BF∥CE，
∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，
∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等．