Question

3．已知函数y=nx^m+mx+2-n（m，n为实数）．
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它与x轴一定有交点吗？请说明理由；
（2）若它是一个二次函数，设它与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，若h是关于n的函数，且h=x₁+x₂，请结合函数的图象回答：当h+n＜0时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数和正比例函数以及二次函数的定义进行解答；
（2）首先求出图象与x轴的两个交点的横坐标，再求出h与n的函数关系式，进而求出答案．

解答 解：（1）当m=2，n≠0时，是二次函数；
当m=1，n≠1或n=0，m≠0是一次函数；
当m=1，n=2时，是正比例函数；不可能是反比例函数；
一定与x轴一定有交点．若是一次函数，直线必与x轴有交点；
若是二次函数，△=2²-4n（2-n）=4（n-1）²≥0，与x轴有交点；
（2）由二次函数y=nx²+2x+2-n分解因式可得y=（x+1）[nx+（2-n）]，
令y=（x+1）[nx+（2-n）]=0，
则x₁=-1，x₂=$\frac{n-2}{n}$；
图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁=-1，x₂=$\frac{n-2}{n}$；
∴h=x₁+x₂=-$\frac{2}{n}$，根据图象可得n＜-$\sqrt{2}$和0＜n＜$\sqrt{2}$时存在h+n＜0．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的定义，此题难度不大．