已知关于x的一元二次方程x2+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根.k为正整数．(1)求k的值,(2)当次方程有一根为零时.直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A.B两点.若M是线段AB上的一个动点.过点M作MN⊥x轴.交二次函数的图象于点N.求线段MN的最大值及此时点M的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标．

分析（1）根据△＞0，列出不等式即可解决问题．
（2）利用方程组求出A、B两点坐标，确定自变量x的取值范围，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根．
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，
∴k-1＜2，
∴k＜3．
∵k为正整数，
∴k为1，2．

（2）把x=0代入方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0得k=1，
∴二次函数为y=x²+2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=x+2与二次函数y=x²+2x的交点为A（-2，0），B（1，3）
由题意可设M（m，m+2），其中-2＜m＜1，则N（m，m²+2m），
MN=m+2-（m²+2m）=-m²-m+2=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，MN的长度最大值为$\frac{9}{4}$．
此时点M的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．