Question

2．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．

解答 （1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵PD⊥AD，
∴∠ADC+∠PDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{PC}{PA}$，
设CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=$\frac{3}{2}$x，
∵AB=AD=AC=1，
∴$\frac{x}{1}$=$\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x+1}$，
解得：x=$\frac{1}{3}$，
故AE=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．