Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
（1）当BE=CE时，求证：AE=DE；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？（直接写出结论即可，不用说明理由）
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，线段EF与线段BC有什么关系？证明你的结论．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,菱形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰梯形的性质得出∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，根据BE=CE得出∠EBC=∠ECB，求出∠ABE=∠DCE，根据ASA推出△ABE≌△DCE即可；
（2）根据全等三角形的判定推出△ABE≌△DCE，求出BE=CE，根据三角形的中位线性质得出FG=

1

2

CE，FH=

1

2

BE，FG∥CE，FH∥BE，得出四边形EGFH是平行四边形，根据菱形的判定得出即可；
（3）根据正方形的性质得出∠BEC=90°，根据直角三角形的性质得出即可．

解答：（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，
∵BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠ECB，
∴∠ABE=∠DCE，
在△ABE和△DCE中

∠A=∠D AB=DC ∠ABE=∠DCE

∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE；

（2）解：点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形，
理由是：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DCE中

AE=DE ∠A=∠D AB=DC

∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴FG=

1

2

CE，FH=

1

2

BE，FG∥CE，FH∥BE，
∴四边形EGFH是平行四边形，FG=FH，
∴四边形EGFH是菱形，
即点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形；

（3）EF=

1

2

BC，
证明：∵菱形EGFH是正方形，
∴∠BEC=90°，
∵F为BC的中点，
∴EF=

1

2

BC．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的中位线性质，正方形的性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．