Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=-x²+2x+3的顶点为A，与x轴交于两点．
（1）求A．B．C三点的坐标．
（2）在坐标平面内存在点D，使四边形ABCD为平行四边形，求过A、C、D的抛物线的表达式．
（3）抛物线C₂与抛物线C₁是否成中心对称？若对称，请直接写出对称中心；若不对称，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,平行四边形的性质,中心对称

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）令抛物线C₁的解析式中的y=0可求出B、C两点的坐标，然后把抛物线的解析式配方就可求出A的坐标；
（2）设过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=ax²+bx+c，然后分别以AC、AB、BC为平行四边形的对角线进行讨论，利用平行四边形及菱形的性质及即可求出D的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（3）可根据两抛物线的二次项系数是不是互为相反数来判定它们是否成中心对称，若成中心对称，它们的对称中心就是两个顶点连线段的中点，只需运用中点坐标公式就可求出对称中心的坐标．

解答：解：（1）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴C的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0）．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点为A的坐标为（1，4）；

（2）设过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=ax²+bx+c，
①当AC为其中的一条对角线时，此时D₁在第二象限，如图1．
∵四边形ABCD₁为平行四边形，
∴AD₁=BC=3-（-1）=4，AD₁∥BC，
∴D₁的坐标为（1-4，4）即（-3，4）．
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

4=a+b+c 0=a-b+c 4=9a-3b+c

，
解得：

a=1 b=2 c=1

，
∴y=x²+2x+1；
②当AB为其中的一条对角线时，此时D在第一象限，如图1．
∵四边形ACBD₂为平行四边形，
∴AD₂=BC=4，AD₂∥BC，
∴D₂的坐标为（1+4，4）即（5，4），
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

a+b+c=4 a-b+c=0 25a+5b+c=4

解得：

a=- 1 3 b=2 c= 7 3

，
∴y=-

1

3

x²+2x+

7

3

；
③当BC为其中的一条对角线时，此时D在第四象限，如图1．
根据抛物线的轴对称性可得AC=AB，
∴平行四边形ABD₃C是菱形，
∴点D₃与点A关于BC对称，
∴D₃的坐标为（1，-4）．
∵顶点为A的坐标为（1，4），C的坐标为（-1，0），
∴

a+b+c=4 a-b+c=0 a+b+c=-4

，
该方程组无解．
综上所述：过A、C、D的抛物线C₂的表达式为y=x²+2x+1或y=-

1

3

x²+2x+

7

3

；

（3）①若抛物线C₂为y=x²+2x+1，如图2．
∵-1与1互为相反数，
∴抛物线C₁与抛物线C₂形状相同，开口方向相反，
∴它们成中心对称，对称中心为两抛物线顶点连线段AC的中点E．
∵点A（-1，0），点C（1，4），
∴根据中点坐标公式可得：
点E的坐标为（

-1+1

2

，

0+4

2

）即（0，2）；
②若抛物线C₂为y=-

1

3

x²+2x+

7

3

，
∵-

1

3

与-1不是互为相反数，
∴它们不可能成中心对称．
综上所述：抛物线C₁：y=-x²+2x+3与抛物线C₂：y=x²+2x+1关于点（0，2）成中心对称．

点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、平行四边形的性质、菱形的性质、中心对称、中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键．