Question

10．如图，Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着C点旋转，使得B点落在AB上的B′处，A点落在A′处，则AA′=$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 由旋转的性质可证明△ACA′∽△BCB′，依据相似三角形的性质可得到AA′=$\frac{4}{3}$BB′，接下来，过点C作CD⊥AB，然后依据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义可求得BB′的长，从而得到问题的答案．

解答 解：过点C作CD⊥BB′．

∵BC=B′C
∵由旋转的性质可知：AC=A′C、∠BCB′=∠ACA′，BC=B′C，
∴△ACA′∽△BCB′．
∴AA′：BB′=4：3．
∴AA′=$\frac{4}{3}$BB′．
∵BC=B′C，DC⊥BB′，
∴BD=B′D．
∴BB′=2BD=2×3×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∴AA′=$\frac{18}{5}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{24}{5}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得BB′的长以及AA′与BB′的关系是解题的关键．