Question

15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2$\sqrt{3}$），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．

解答 解：∵点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2$\sqrt{3}$）
∴BO=$2\sqrt{3}$，AO=8
由CD⊥BO，C是AB的中点，可得BD=DO=$\frac{1}{2}$BO=$\sqrt{3}$=PE，CD=$\frac{1}{2}$AO=4
设DP=a，则CP=4-a
当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，设BP与CE交于点F，则∠FCP=∠DBP
又∵EP⊥CP，PD⊥BD
∴∠EPC=∠PDB=90°
∴△EPC∽△PDB
∴$\frac{DP}{PE}=\frac{DB}{PC}$，即$\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4-a}$
解得a₁=1，a₂=3（舍去）
∴DP=1
又∵PE=$\sqrt{3}$
∴P（1，$\sqrt{3}$）
故答案为：（1，$\sqrt{3}$）

点评 本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．