Question

4．正方形ABCD中，E为CD中点，BF⊥AE于F，M为CF上一点，将△BMF绕点F顺时针旋转得△GNF，M的对应点N点恰好在AB边上，B的对应点G恰好在线段EA的延长线上．若CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则DG的长为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作FH⊥DE于H，FQ⊥AD于Q，连结BD、FD，如图，先证明△AFQ∽△AED，得到$\frac{AQ}{QF}$=$\frac{AD}{DE}$=2，设QF=x，则AQ=2x，AF=$\sqrt{5}$x，DH=x，再证△ABF∽△EAD，利用相似比得到$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AD}{DE}$=2，则BF=2AF=2$\sqrt{5}$x，在Rt△ABF中根据勾股定理计算出AB=5x，则AD=AB=5x，DE=$\frac{5}{2}$x，DQ=3x，CH=4x，于是在Rt△CFH中利用勾股定理可得CF=5x，所以CF=CD=BC，接着证明NA=NB=FN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，然后根据旋转得性质得FM=FN=$\frac{5}{2}$x，FG=FB=2$\sqrt{5}$x，所以CM=5x-$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可解得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则BC=5x=$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{10}$，最后证明△BFD≌△GFD，得到GD=BD=$\sqrt{10}$．

解答 解：作FH⊥DE于H，FQ⊥AD于Q，连结BD、FD，如图，
∵四边形ABCD为正方形，点E为CD的中点，
∴AD=2DE，
∵FQ∥DE，
∴△AFQ∽△AED，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QF}{DE}$，
∴$\frac{AQ}{QF}$=2，
设QF=x，则AQ=2x，AF=$\sqrt{5}$x，DH=x，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
而∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∴△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{AF}{DE}$，即$\frac{BF}{AF}$=$\frac{AD}{DE}$=2，
∴BF=2AF=2$\sqrt{5}$x，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}x）^{2}+（2\sqrt{5}x）^{2}}$=5x，
∴AD=AB=5x，DE=$\frac{5}{2}$x，
∴DQ=5x-2x=3x，CH=5x-x=4x，
在Rt△CFH中，∵FH=DQ=3x，CH=4x，
∴CF=5x，
∴CF=CD=BC，
∴∠CBF=∠CFB，
∴NB=NF，
而∠ABF+∠BAF=90°，∠AFN+∠NFB=90°，
∴∠BAF=∠AFN，
∴NA=NF，
∴NA=NB=FN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$x，
∵△BMF绕点F顺时针旋转得△GNF，M的对应点N点恰好在AB边上，B的对应点G恰好在线段EA的延长线上，
∴FM=FN=$\frac{5}{2}$x，FG=FB=2$\sqrt{5}$x，
∴CM=5x-$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=5x=$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{10}$，
∵CD=CF，
∴∠FDC=∠CFD，
而∠FED=∠CBF，
∵CF=CB，
∴∠CBF=∠CFB，
∴∠BFD=∠CFB+∠CFD=∠FED+∠FDC，
而∠GFD=∠FDE+∠FED，
∴∠BFD=∠GFD，
在△BFD和△GFD中
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FG}\\{∠BFD=∠GFD}\\{FD=FD}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△GFD，
∴GD=BD=$\sqrt{10}$．
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质和三角形全等的判定与性质．此题综合性较强．