Question

11．已知抛物线y=-x²-2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=$\frac{1}{2}$x-a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；
（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S_△PCD=S_△PAC-S_△ADC可得出结论；
（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}y=-{x}^{2}-2x+a\\ y=\frac{1}{2}x-a\end{array}\right.$，整理得2x²+5x-4a=0．
∵△=25+32a＞0，解得a＞-$\frac{25}{32}$．
∵a≠0，
∴a＞-$\frac{25}{32}$且a≠0．
令x=0，得y=a，
∴A（0，a）．
由y=-（x+1）²+1+a得，M（-1，1+a）．

（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，a），M（-1，1+a），
∴$\left\{\begin{array}{l}1+a=-k+b\\ a=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=a\end{array}\right.$，
∴直线MA的解析式为y=-x+a，
联立得，$\left\{\begin{array}{l}y=-x+a\\ y=\frac{1}{2}x-a\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4a}{3}\\ y=-\frac{a}{3}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$）．
∵点P是点N关于y轴的对称点，
∴P（-$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$）．
代入y=-x²-2x+a得，-$\frac{a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{9}{4}$或a=0（舍去）．
∴A（0，$\frac{9}{4}$），C（0，-$\frac{9}{4}$），M（-1，$\frac{13}{4}$），|AC|=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PCD=S_△PAC-S_△ADC=$\frac{1}{2}$|AC|•|x_p|-$\frac{1}{2}$|AC|•|x₀|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{9}{2}$•（3-1）
=$\frac{9}{2}$；

（3）①当点P在y轴左侧时，
∵四边形APCN是平行四边形，
∴AC与PN互相平分，N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
∴P（-$\frac{4a}{3}$，$\frac{a}{3}$）；
代入y=-x²-2x+a得，$\frac{a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{15}{8}$，
∴P₁（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{8}$）．
②当点P在y轴右侧时，
∵四边形ACPN是平行四边形，
∴NP∥AC且NP=AC，
∵N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），A（0，a），C（0，-a），
∴P（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{7a}{3}$）．
代入y=-x²-2x+a得，-$\frac{7a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{3}{8}$，
∴P₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{8}$）．
综上所述，当点P₁（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{8}$）和P₂（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{8}$）时，A、C、P、N能构成平行四边形．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．