Question

2．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（$\sqrt{3}$，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．
（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S=$\frac{\sqrt{3}}{24}$时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据折叠的性质得出BM=AM，再由勾股定理进行解答即可；
（Ⅱ）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可；
（Ⅲ）把S=$\frac{\sqrt{3}}{24}$代入解答即可．

解答 解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，点A（$\sqrt{3}$，0），点B（0，1），点O（0，0），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
由OM=m，可得：AM=OA-OM=$\sqrt{3}$-m，
根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，
∴BM=AM=$\sqrt{3}$-m，
在Rt△MOB中，由勾股定理，BM²=OB²+OM²，
可得：$（\sqrt{3}-m）^{2}=1+{m}^{2}$，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点M的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
（Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°，
由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，
∴在Rt△AMN中，MN=AM•sin∠OAB=$\frac{1}{2}（\sqrt{3}-m）$，
AN=AN•cos∠OAB=$\frac{\sqrt{3}}{2}（\sqrt{3}-m）$，
∴${S}_{△AMN}=\frac{1}{2}MN•AN=\frac{\sqrt{3}}{8}（\sqrt{3}-m）^{2}$，
由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°，
∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，
∴在Rt△COM中，可得CO=OM•tan∠A'MO=$\sqrt{3}$m，
∴${S}_{△COM}=\frac{1}{2}OM•CO=\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$，
∵${S}_{△ABO}=\frac{1}{2}OA•OB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$S={S}_{△ABO}-{S}_{△AMN}-{S}_{△COM}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{8}（\sqrt{3}-m）^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$，
即$S=-\frac{5\sqrt{3}}{8}{m}^{2}+\frac{3}{4}m+\frac{\sqrt{3}}{8}（0＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}）$；
（Ⅲ）①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；
②当点A′落在第一象限时，则S=SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S=$\frac{\sqrt{3}}{24}$代入，可得点M的坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）．

点评 此题考查了一次函数的综合问题，关键是利用勾股定理、三角形的面积，三角函数的运用进行分析．