Question

如图，AB是⊙O的直径，切线PC与AB延长线交于C，P为切点，点D是

AP

的中点，若AC=10，PC=6．
（1）求证：DO∥BP；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）由点D是

AP

的中点，即

AD

=

PD

，则根据垂径定理得OD⊥AP，再根据圆周角定理得∠APB=90°，然后根据平行线的判定即可得到DO∥BP；
（2）连结OP，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OP⊥PC，在Rt△OPC中，由于PC=6，OC=AC-OA=r，OP=r，则根据勾股定理得（10-r）²=36+r²，然后解方程即可得到⊙的半径．

解答：（1）证明：∵点D是

AP

的中点，
∴

AD

=

PD

，
∴OD⊥AP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴PB⊥AP，
∴DO∥BP；
（2）解：连结OP，如图，设⊙O的半径为r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
在Rt△OPC中，∵PC=6，OC=AC-OA=r，OP=r，
∴（10-r）²=36+r²，解得r=

16

5

，
即⊙O的半径为

16

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理、勾股定理和平行线的判定．