Question

17．在?ABCD（非矩形）中，AC、BD为对角线，△ABC是直角三角形，若AB=4，AC=3，则对角线BD的长为$\sqrt{37}$或$\sqrt{73}$．

Answer 1

分析 由于四边形ABCD是非矩形的平行四边形，所以当△ABC是直角三角形时，分两种情况：①如图1，∠ACB=90°；②如图2，∠BAC=90°．都可以利用平行四边形的性质和勾股定理先求出BO的长，进而求出BD的长．

解答 解：分两种情况：
①如图1，∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，AC=3，
∴BC²=AB²-AC²=4²-3²=7．
∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BD=2BO，OC=OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∴BO²=BC²+OC²=7+$\frac{9}{4}$=$\frac{37}{4}$，
∴BD=2BO=2×$\frac{\sqrt{37}}{2}$=$\sqrt{37}$；
②如图2，∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BD=2BO，OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BO²=AB²+OA²=16+$\frac{9}{4}$=$\frac{73}{4}$，
∴BD=2BO=2×$\frac{\sqrt{73}}{2}$=$\sqrt{73}$．
故答案为$\sqrt{37}$或$\sqrt{73}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，难度适中．进行分类讨论是解题的关键．