Question

19．已知：如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=8cm．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出AB=AD=BC=8cm，求出AD=2AE，即可得出∠ADE=30°，求出∠DAB=60°即可；
（2）过C作CM⊥AB，交AB延长线于M，根据勾股定理求出CM，求出AM，再根据勾股定理求出即可；
（3）根据菱形面积公式求出即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=8cm，
∵DE⊥AB，E是AB的中点，
∴∠DEA=90°，AE=4cm，
∴AD=2AE，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAB=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
∴∠ABC=120°；

（2）过C作CM⊥AB，交AB延长线于M，
则∠M=90°，
∵BC=8cm，∠ABC=120°，
∴∠CBM=60°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∴AM=8cm+4cm=12cm，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm，
AC=$\sqrt{C{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=8$\sqrt{3}$（cm）；

（3）菱形ABCD的面积为AB×CM=8cm×4$\sqrt{3}$cm=32$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键．