Question

8．AC为平行四边形对角线，过C分别作AD垂线，垂足为E、F，求证：AB•AE+AD•AF=AC²．

Answer 1

分析 作BM⊥AC于点M，根据AA证出△ABM∽△ACE，得出AB•AE=AM•AC，再根据∠BCM=∠CAF，证出△BCM∽△CAF，得出BC•AF=CM•AC，从而得出AB•AE+AD•AF=AC²．

解答 证明：作BM⊥AC于点M，则∠AMB=∠AEC=90°，
∵∠BAM=∠CAE，
∴△ABM∽△ACE，
∴AB•AE=AM•AC，
∵∠BCM=∠CAF，
易得△BCM∽△CAF，
∴BC•AF=CM•AC，
∴AB•AE+BC•AF=AM•AC+CM•AC=AC（AM+CM）=AC²．
∵AD=BC，
∴AB•AE+AD•AF=AC²．

点评 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定证出△ABM∽△ACE和△BCM∽△CAF是本题的关键．