Question

12．已知：如图，?ABCD，AB∥PQ，PA、QB的延长线相交于S，PD、QC的延长线相交于R，求证：SR∥BC．

Answer 1

分析 首先证明△SAB∽△SPQ，可得$\frac{SA}{SP}$=$\frac{AB}{PQ}$，再利用平行四边形的性质可得DC∥AB，DC=AB，再证明△KDC∽△KPQ，可得$\frac{KD}{PK}$=$\frac{DC}{PQ}$，进而可得$\frac{DK}{PK}$=$\frac{SA}{SP}$，然后证明
AD∥SK，从而可得SR∥BC．

解答 证明：∵AB∥PQ，
∴△SAB∽△SPQ，
∴$\frac{SA}{SP}$=$\frac{AB}{PQ}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CD∥PQ，
∴△KDC∽△KPQ，
∴$\frac{KD}{PK}$=$\frac{DC}{PQ}$，
∴$\frac{DK}{PK}$=$\frac{SA}{SP}$，
∴△PDA∽△PKS，
∴∠PDA=∠PKS，
∴AD∥SK，
∴AD∥SR，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴SR∥BC．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形对应边成比例．