Question

7．已知点A，B分别在x轴，y轴上，且OA=OB，P为动点，且PA⊥PB．
（1）如图①，P在第一象限时，求∠OPA的度数．
（2）如图②，P在第四象限，求∠OPA的度数．

Answer 1

分析 （1）根据∠BOA=90°，∠APB=90°，可得O、B、P、A四点共圆，从而转换为求∠OBA 的度数；
（2）判断O、B、P、A四点共圆，根据“对角互补”，可得∠OPA的度数．

解答 解：（1）∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴O、B、P、A四点共圆，
∴∠OPA=∠OBA=45°；

（2）过点O作OD⊥AB于点D，连接PD，
∵∠BOA=90°，BP⊥AP，
∴OD=BD=AD，
∴点D为AB的中点，
∴OD=DA=DB=PD，
∴O、B、P、A四点共圆，
∵∠OBA=45°，
∴∠OPA=135°．

点评 本题考查了四点共圆的知识，解答本题的关键思路清晰，判断四点共圆，利用四点共圆的性质求解．