Question

1．已知抛物线y=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0），直线y=-x+$\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$．
定义：若存在某一数x₀，使得点（x₀，x₀）在抛物线y=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）上，则称x₀是抛物线的一个不动点．
（1）当a=1，b=-2时，求抛物线的不动点；
（2）若对任意的b值，抛物线恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若A，B两点的横坐标是抛物线的不动点，且AB的中点C在直线上，请直接写出b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出抛物线解析式，再确定出抛物线的不动点；
（2）根据一元二次方程根的判别式确定出a的范围；
（3）利用中点坐标确定出a，b的函数关系式，从而求出b的最小值．

解答 解：（1）当a=1，b=-2时，抛物线y=x²-x-3，
令x²-x-3=x，即x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以此时抛物线的不动点为-1或3，
（2）若对任意的b值，抛物线恒有两个不动点，
则令ax²+（b+1）x+b-1=x
即ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实数解，
∴令△=b²-4a（b-1）＞0对任意的b值恒成立，
即b²-4ab+4a＞0对任意的b值恒成立，
令△'=（4a）²-4•4a＜0
即a²-a＜0解得0＜a＜1，
（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂）
∵AB的中点C在直线上，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$
∴x₁+x₂=$\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$
∵x₁，x₂是方程ax²+bx+b-1=0的两根
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
∴-$\frac{b}{a}=\frac{a}{5{a}^{2}-4a+1}$
∴b=-$\frac{1}{（\frac{1}{a}-2）^{2}+1}$
∴当a=$\frac{1}{2}$时，b的最小值是-1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，一元二次方程根的判别式，中点坐标，理解新定义是解本题的关键．