Question

12．如图，抛物线y=（x+1）²-4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，求此时点P的坐标及最小周长；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当四边形AMCO的面积最大时，求出四边形AMCO的最大面积及此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0即可解决问题．
（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，此时△PBC周长最小．
（3）如图2中，设M（m，m²+2m-3），连接OM．根据S_{四边形AMCO}=S_△AOM+S_△MOC构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）令x=0，得y=-3，
∴点C坐标（0，-3）．
令y=0则（x+1）²-4=0，解得x=-3或1，
∴点A坐标（-3，0），B（1，0），
∴A（-3，0），C（0，-3）．

（2）如图1中，连接AC交对称轴于P，

∵PB=PA，
∴PB+PC=PB+PA，
∴此时PB+PC最短，△PBC的周长最短，
设直线AC解析式为y=kx+b则$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-x-3，
∵对称轴x=-1，
∴点P坐标（-1，-2），
在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OA=OC=3，
∴AC=3$\sqrt{2}$，
∵BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴△PBC周长的最小值为3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$．

（3）如图2中，设M（m，m²+2m-3），连接OM．

∵S_{四边形AMCO}=S_△AOM+S_△MOC=$\frac{1}{2}$×3×（-m²-2m+3）+$\frac{1}{2}$×3×（-m）=-$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=-$\frac{3}{2}$时，四边形AMCO面积最大，最大值为$\frac{63}{8}$，
此时点M（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建二次函数解决最值问题．属于中考常考题型．