Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm．动点P从点D出发，沿折线D-C-B-A-D以2cm/s的速度运动，动点Q从点D出发．沿D-A-B-C-D以1cm/s的速度运动．若动点P、Q同时出发，相遇是停止运动．设运动时间为ts．点E为BC边上一点，且BE=3cm．
（1）求P、Q从出发到相遇所用的时间；
（2）在P、Q的运动过程中，下列命题能否成立？如果能，分别求出相应t的值；如果不能，请说明理由：
①线段PQ经过矩形ABCD的对称中心．
②以A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由题意得出方程t+2t=2（5+10），解方程即可解得t=10；
（2）①由矩形ABCD的中心对称性得出AQ=CP，即10-t=2t-5，解方程即可；
②由①得：P、Q在点A处相遇，由平行四边形的判定和题意得出点P应在BC上，分两种情况：
（A）当点P在点E的右侧时，得出AQ=EP，得出方程，解方程即可；
（B）当点P在点E的左侧时，得出AQ=PE，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意得：t+2t=2（5+10），
解得：t=10，
∴P、Q从出发到相遇所用的时间为10s；
（2）①成立；理由如下：
∵矩形ABCD是中心对称图形，
若线段PQ经过对称中心O，则AQ=CP，
即10-t=2t-5，
解得：t=5，
∴当t=5s时，线段PQ经过矩形ABCD的对称中心；
②成立：理由如下：
由①得：P、Q在点A处相遇，
∵AD∥BC，
∴以A、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
则点P应在AB或BC或CD上，Q在AD上，
而点P在AB或CD上时均不能构成平行四边形，
∴点P应在BC上，分两种情况：
（A）当点P在点E的右侧时，为平行四边形AEPQ，
此时应有AQ=EP，
即10-t=（10-3）+5-2t，
解得：t=2，
∵点P应在BC上，
∴t＞$\frac{5}{2}$，
∴t=2＜$\frac{5}{2}$，不合题意，舍去；
（B）当点P在点E的左侧时，为平行四边形APEQ，
此时应有AQ=PE，
即10-t=2t-（10-3）-5，
解得：t=$\frac{22}{3}$，
∵点P在点E的左侧，且点P应在BC上，
∴6＜t＜$\frac{15}{2}$，
而6＜$\frac{22}{3}$＜$\frac{15}{2}$，
∴t=$\frac{22}{3}$时，符合题意，
综上所述，当t=$\frac{22}{5}$s时，四边形APEQ为平行四边形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）②需要进行分类讨论才能得出结果．