Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于2.4．

Answer 1

分析 连接CD，根据矩形的性质可知：EF=CD，∠EDF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质得出DQ=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则DQ最小，再根据三角形的面积为定值即可求出DQ的长．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形EDFC是矩形，
∴EF=CD，∠EDF=90°，
∵点Q是EF的中点，
∴DQ=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CD，
当CD最小时，则DQ最小，
根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，
∴DQ=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{6×8}{10}$=2.4，
故答案为：2.4．

点评 本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，解题的关键是求DQ的最小值转化为其相等线段CD的最小值．