Question

11．已知直线l₁∥l₂，A是l₁上一点，B是l₂上一点，直线l₃和直线l₁，l₂交于点C和D，在直线CD上有一点P
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC、∠APB、∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥l₁，由“平行与同一条直线的两直线平行”可得出PE∥l₁∥l₂，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．
（2）按点P的两种情况分类讨论：过点P作PE∥l₁，由“平行与同一条直线的两直线平行”可得出PE∥l₁∥l₂，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．

解答 解：（1）∠PAC+∠PBD=∠APB．
过点P作PE∥l₁，如图1所示．

∵PE∥l₁，l₁∥l₂，
∴PE∥l₁∥l₂，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠PAC+∠PBD=∠APB．
（2）过点P作PE∥l₁．
当点P在直线l₁上方时，如图2所示．

∵PE∥l₁，l₁∥l₂，
∴PE∥l₁∥l₂，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠BPE-∠APE，
∴∠PBD-∠PAC=∠APB．
当点P在直线l₂下方时，如图3所示．

∵PE∥l₁，l₁∥l₂，
∴PE∥l₁∥l₂，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，
∵∠APB=∠APE-∠BPE，
∴∠PAC-∠PBD=∠APB．

点评 本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．