Question

5．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O的直径，DE切⊙O于点D，且DE⊥MN于点E．
（1）求证：AD平分∠CAM．
（2）若DE=6，AE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由DE与⊙O相切于D，得到OD⊥DE，又因为DE⊥MN，推出OD∥MN，得到内错角∠ODA=∠DAE，由等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，于是推出∠OAD=∠DAE，得出AD平分∠CAM；
（2）由勾股定理得出AD，根据AC是⊙O的直径，推出∠ADC=90°，得出∠ADC=∠DEA，又因为∠OAD=∠DAE，证出△ADE∽△ACD，列比例式解出结果．

解答 （1）证明：连接OD，
∵DE与⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
又∵DE⊥MN，
∴OD∥MN，
∴∠ODA=∠DAE，
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠DAE，
∴AD平分∠CAM；

（2）解：∵DE=6，AE=3，
∴AD=$\sqrt{{6}^{2}{+3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠DEA，
又∵∠OAD=∠DAE，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，∴AC=$\frac{{AD}^{2}}{AE}$=$\frac{{（3\sqrt{5}）}^{2}}{3}$=15，
∴⊙O的半径为7.5．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质，角平行线的判定，相似三角形的判定和性质，能根据切线的性质作出辅助线是解题的关键．