题目内容
设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N．如果DE=DF，求证：DM=DN．
考点：梅涅劳斯定理与赛瓦定理
专题：
分析：对于三个不同的三角形和对应的直线，应用梅涅劳斯定理，得到相应的三组线段之间比值的乘积是1，把三组比值的乘积相乘，约分整理，得到
•
•
=1，根据DE=DF，约分得到最简形式，得到结果．
| DE |
| EM |
| FN |
| ND |
| MD |
| DF |
解答：
证明：对△AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：
•
•
=1（1）
对△AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：
•
•
=1（2），
对△AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：
•
•
=1（3），
（1）（2）（3）式相乘得：
•
•
=1，
又∵DE=DF，
∴
=1，
∴
=
，
∴
=
，
所以DM=DN．
证明：对△AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：| AP |
| PD |
| DE |
| EM |
| MB |
| BA |
对△AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：
| AC |
| CF |
| FN |
| ND |
| DP |
| PA |
对△AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：
| AB |
| BM |
| MD |
| DF |
| FC |
| CA |
（1）（2）（3）式相乘得：
| DE |
| EM |
| FN |
| ND |
| MD |
| DF |
又∵DE=DF，
∴
| FN•MD |
| EM•ND |
∴
| DM |
| EM |
| DN |
| FN |
∴
| DM |
| DM-DE |
| DN |
| DN-DE |
所以DM=DN．
点评：本题考查了梅涅劳斯定理、等量代换、整理比较麻烦的比例式时的方法，是一个基础题，题目的运算量比较大，是一个不常见到的题目．
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智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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