Question

AB是⊙O的弦，∠AOB=120°，弧AB的中点D到AB的距离为2，则弦AB的长为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：由点D为弧AB的中点，根据垂径定理的推论得OD⊥AB，且∠AOD=

1

2

∠AOB=60°，再根据垂径定理得到AC=BC，且有CD=2，在Rt△AOC中根据含30度的直角三角形三边的关系得到若OC=x，则OA=2x，AC=

3

x，然后利用OD=2x得2x=2+x，解得x=1，所以AC=

3

，则AB=2AC=2

3

．

解答：解：如图，OD与AB交于C，
∵点D为弧AB的中点，
∴OD⊥AB，∠AOD=∠BOD=

1

2

∠AOB=

1

2

×120°=60°，
∴AC=BC，CD=2，
在Rt△AOC中，∠A=30°，
设OC=x，则OA=2x，AC=

3

x，
∵OD=2x，
∴2x=2+x，解得x=1，
∴AC=

3

，
∴AB=2AC=2

3

．
故答案为2

3

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．