Question

如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．
（1）求证：△DEF∽△ABC；
（2）图中还有哪几对三角形相似？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,三角形中位线定理

专题：

分析：根据三角形中位线的性质可得：DF=

1

2

AC，易得△BDF∽△BCA，同理可得：△FEC∽△ABC，△DBE∽△ABC，根据有三边对应成比例的三角形相似，可得△EFD∽△ABC．

解答：（1）证明：∵D、F分别是△ABC的边BC、CA的中点，
∴DF=

1

2

AC，
同理EF=

1

2

AB，DE=

1

2

AC，
则

DF

AC

=

EF

CB

=

ED

AB

，
∴△DEF∽△ABC；

（2）解：∵E、F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB．
同理，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC，△DEF∽△ABC，
∴图中还有的相似三角形是：：△AFE∽△ABC，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC．

点评：此题考查了三角形中位线的性质（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）与相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截三角形另两边或另两边的延长线所构造的三角形相似；有三边对应成比例的三角形相似）．解此题的关键是小心漏解．