Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连结AD．

（1）求证：EF为半圆O的切线．

（2）若AO＝BF＝2，求阴影区域的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，利用垂径定理可证得OD⊥CB，利用圆周角定理可得到AC⊥BC ，结合已知条件可证得OD⊥DE，然后利用切线的判定定理可证得结论．

（2）连接CD，OC，由已知条件AO＝BF＝2，可证得△COD和△AOC是等边三角形，利用等边三角形的性质，去证明∠ECA＝30°，利用解直角三角形分别求出AE，DE的长，据此可求出△AED的面积，再证明S△ACD＝S△OCD，然后根据S阴影部分＝S△AED－S扇形COD，利用扇形的面积公式进行计算可求解．

（1）证明：连接OD，

∵点D是弧BC的中点，

∴OD⊥CB，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°即AC⊥BC

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE

∵OD是半径，

∴EF是圆OD的切线；

（2）连接CD，OC，

∵OD⊥EF

∴∠ODF＝90°

∵OD＝OB＝BF＝2，

∴OF＝2OD

∴∠F＝30°，∠DOF＝60°

∵ D为的中点

∴∠DOF＝∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，△AOC是等边三角形，

∴∠ECA＝∠COD＝30°，

在Rt△AEF中，AF＝2OB＋BF＝2×2＋2＝6

∴AE＝AF＝3，

DE＝AEtan∠EAD＝3tan30°＝

∵∠CDO＝∠DOF＝60°，

∴CD∥AB

∴S△ACD＝S△OCD，

S阴影部分＝S△AED－S扇形COD＝．