Question

【题目】如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点．

（1）求证：；

（2）如图，连接，，交于点．

①求证：；

②若，求三角形的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②

【解析】

（1）由正方形的性质可得AD=BC=DC=AB，AE=BE=AB，BF=CF=BC，由SAS可证△ADE≌△BAF，可得∠BAF=∠ADE，由余角的性质可得结论；
（2）①过点B作BN⊥AF于N，由AAS可证△ABN≌△ADG，可得AG=BN，DG=GN，由平行线分线段成比例可得AG=GN，由勾股定理可得结论；
②由勾股定理可求DE的长，由面积法可求AG的长，由相似三角形的性质可求GH的长，由三角形的面积可求解．

解：（1）证明：∵正方形，、分别为边、的中点，

∴，，，

∴，

∵在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE和△BAF（SAS），

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）证明：①如图，过点作于，

∵，，，

在△ABN和△ADG中，

，

∴△ABN和△ADG（AAS），

∴，，

∵，

∴，

∴，且，

∴，

∴，

∵，

∴；

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

且，

∴，

∴．