Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），A₃（$\frac{49}{4}$，m），那么点A_n的坐标是（$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$）．

Answer 1

分析 由点A₁、A₂的坐标利用待定系数法求出直线A₁A₂的解析式，由此即可得出点A₃的坐标，设点A_n的坐标是（x_n，y_n），根据x_n的数据的变化找出变化规律“x_n=$（\frac{7}{2}）^{n-1}$”，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

解答 解：将点A₁（1，1）、A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{\frac{3}{2}=\frac{7}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线A₁A₂的解析式为y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$．
∵点A₃（$\frac{49}{4}$，m）在直线A₁A₂上，
∴A₃（$\frac{49}{4}$，$\frac{13}{4}$）．
设点A_n的坐标是（x_n，y_n），
观察，发现：x₁=1，x₂=$\frac{7}{2}$，x₃=$\frac{49}{4}$，…，
∴x_n=$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，
∴y_n=$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$，
∴点A_n的坐标为（$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$）．
故答案为：（$（\frac{7}{2}）^{n-1}$，$\frac{1}{5}$$（\frac{7}{2}）^{n-1}$+$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中的点的变化规律，解题的关键是找出坐标的变化规律．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据坐标的变化找出变化规律是关键．